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五年级数学
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课程简介

五年级数学

数学对于五、六年级学生的重要性不言而喻:
 

五、六年级的知识点占据着重点中学小升初测试及各大杯赛考试80%以上的分值。
  

每年小升初前,都会进行一次全市统测,这次成绩将被记录于学员学籍档案中,成为学生升学的重要参考信息。所以,五六年级的学习应该非常具备针对性,结合个人的情况精准突破。
  

尤其对于接触数学较晚的学生来说,五六年级再也耽误不起,绝不容有丝毫闪失。

课程大纲

一级模块 二级模块 三级模块 内容关键字 板块说明
1计算 1-1速算巧算 1-1-1加减法速算与巧算 1、根据个位进行凑整计算;
2、通过拆分进行凑整计算;
3、分析数字特点进行组合计算;
计算,数学学习的根本。对于任何数学专题的不过关,都或多或少和学生计算能力的欠缺有关,任何数学专题的技巧都源于计算的技巧。针对一到六年级的学生我们设置了这四个板块,让学生更好的学习速算的运算定律及综合运用技巧。对于低年级的学生着重学习加减法的速算巧算体会凑整思想,对于中年级学生我们安排了提取公因数及四则混合运算,为后面的专题学习做好铺垫,对于高年级学生安排了分数及繁分数计算,通过让学生学习这四个板块的学习,强化学生的解题能力,系统掌握速算巧算的相关方法。
1-1-2乘除混合运算与提取公因式 1、乘法巧算及积不变的性质应用;
2、除法巧算及商不变的性质应用;
3、巧用乘除法巧算方法拆所需要的公因数;
4、组合思想在提取公因数中应用;
1-1-3分数繁分数计算 1、掌握四则混合计算的基本方法;
2、运用学过的运算定律巧解四则混合计算题目;
3、熟练掌握小数及分数互化并应用到四则混合计算中;
4、将学过的数字互化与运算定律等速算方法综合运用;
1-1-4四则混合运算综合 1、分数基本计算与比例初步;
2、分数计算的特殊方法;
3、繁分数的化简与计算;
4、关于繁分数发四则混合巧算;
1-2数列计算 1-2-1等差数列 1、掌握基本的等差等比的公式及公式推到;
2、能够御用倒退法解末项、首项、公差、项数及和;
3、等差等比数列在数列、数阵图的应用;
4、在应用题中提炼出等差等比数据关系并进行解题;
从考试的角度来说,数列计算才真正严格算得上是必考重难点。当然有的简单,有的刁钻。*重要的是,试卷**大题99%是计算题型,学生对计算题的把握决定了学生对整套试卷的考试信心把握,成为决定学生是否能够发挥低常水平、正常水平甚至超常水平的引擎。数列计算是小升初及杯赛考试的重要考式模块等差数列是低年级常考热点,裂项是高年级考试的热门考点。
1-2-2换元法与公式运用 1、学会如何利用换元将复杂算式化简成简单算式;
2、明确换一元与换二元的优劣势;
3、利用四则混合计算技巧进行化简计算;
4、掌握完全平方、平方差及一些技巧公式的计算与应用;
1-2-3裂项与通项归纳 1、消项;
(1)整数裂项;
(2)分数裂项——裂差;
(3)通项归纳;
2、凑整——裂项中的裂和
1-3技巧计算 1-3-1定义新运算 1、能根据题目要求进行带入进行简单计算;
2、利用解方程的思想进行倒退计算;
3、熟练运用数论、逻辑推理等综合知识进行定义新运算;
技巧计算是计算的重点也是难点,尤其多位数计算、比较估算与单位数拆分等。为了让学生对本版块内容掌握得更加透彻,小学数学将其按照整数和分数计算特点分别将其安排到四到五年级是数学学习中;对于即将进入六年级的学生来说,系统复习及综合运用是学习重点,同时结合杯赛及小升初试题提高学生的解题能力。
1-3-2多位数计算与归纳思想 1、运用找规律进行多位数计算;
2、利用99近整数的方法进行凑整计算;
3、利用重复数字的拆分技巧进行计算;
4、四则混合计算与运算定律在多位数计算中的应用;
1-3-3循环小数化分数、单位分数的拆分 1、学会如何将纯循环小数与混循环小数化成分数;
2、能够证明纯循环与混循环小数化分数;
3、根据裂项的一些模型会将单位分数进行拆分;
1-3-4估算与比较大小 1、掌握数(小数、分数)的大小比较的常用方法;
(1)通分母;
(2)通分子;
(3)比倒数;
(4)与1相减比较法;
(5)重要结论?
2、数的估算的常用方法——放缩法
2代数与方程 2-1等量代换 2-1—1等量代换 1、运用简单的方程思想基础进行等量代换;
2、代换后应用对比分析发进行解题;
方程作为小学数学学习的一个工具来说,贯穿与小学的数学学习,同时能够映射初中乃至高中等以后的学习,具有举足轻重的作用,一元一次方程、二元一次方程、及不定方程的学习可以帮助学生解决一些复杂的应用题及数论题,提高学生的数学能力。本模块着重讲解如何解方程。
2-2方程解法综合 2-2-1一元一次方程解法综合 1、一元一次方程基础解法,项的概念;
2、掌握寻找等量关系构建方程的方法;
2-2-2方程组解法综合 1、掌握方程组、二元一次方程租的等相关定义;
2、一次方程组的解法:代入消元法与加减消元法;
2-2-3不定方程与不定方程组 1、不定方程解的性质;
2、不定方程解法与技巧总结;
2-3方程解应用题 2-3-1列方程解应用题 1、设未知数列方程,方程工具的应用;
2、找到题目中的几个等量关系进行设未知数与列方程;
3、巧妙设计等量关系让列方程与解方程变的简单;
本模块着重讲解如何利用一元一次方程、一元二次方程、不定方程解题。我们会重点讲述如何找等量关系列出方程,同时我们也会加强解方程的练习,针对针对小学数学两个个重要思想:等量代换的思想及数论中的整除、余数性质等思想解不定方程,同时还会向一些基础好的学生,传授一些小奥竞赛的常用解题技巧及方法方法。
2-3-2列方程组解应用题 1、设未知数列方程组,方程组工具的应用;
2、根据等量关系列方程并熟练利用代入与加减消元解题;
2-3-3列不定方程解应用题 1、根据等量关系列不定方程;
2、不定方程解题时要综合运用数论比例等知识解题
3行程部分 3-1相遇与追及 3-1-1行程问题基础 1、行程基本概念;
2、平均速度问题;
相遇与追及是行程题的入门,本模块通过系统归纳简单相遇与追及,帮助学生分清解行程题目的关键。为了让学生更好解决有难度行程问题,我们针对较优秀的学生安排了多人多次相遇等经典题目,让学生通过对这四个板块的学习,强化学生的解题能力,系统掌握有行程的相关知识。
3-1-2相遇与追及问题 1、了解相遇与追及的基本公式并运用其解题;
2、体会相遇与追及本质:与方向无关,由最终计算时需要的路程和与路程差的决定
3-1-3多次相遇和追及问题 1、学会画图解行程题;
2、能够利用柳卡图解决多次相遇和追及问题;
3、能够利用比例解多人相遇和追及问题;
3-1-4多人相遇和追及问题 1、能够将学过的简单相遇和追及问题进行综合运用;
2、根据题意能够画出多人相遇和追及的示意图;
3、能将复杂的多人相遇问题转化多个简单相遇和追及环节进行解题;
3-2典型行程问题 3-2-1火车问题 1、火车过桥的概念与分类;
2、根据题意能够画出相应示意图并确定路程的计算细节;
3、确定好追及和相遇并进行解题;
4、火车与多人多次相遇与追及问题;
行程是小学数学学习的一个难点,本模块系统梳理行程的十大模块,帮助学生理清各个专题模块的解题特点及技巧,为后面解行程综合做好铺垫。
3-2-2流水行船 1、掌握流水行船的基本概念;
2、对流水行船问题中顺(逆)水速度、船速、水速的理解;
3、由顺水速度和逆水速度如何推导出船速和水速;
4、在流水行船的相遇与追及问题中引入消元思想。
3-2-3猎狗追兔问题 1、行程问题中单位的统一;
2、追及问题的理解与应用;
3、将追及问题公式、比例(或份数)等知识点的结合;
4、统一及转化思想的应用
3-2-4环形跑道问题 1、掌握如下两个关系:
(1)同一地出发,相向而行,合走一圈相遇一次;
(2)同一地出发,同向而行,追上一圈相遇一次;
2、遇见多人多次相遇、追及能够借助线段图进行分析;
3、用比例解、数论等知识解环形跑道问题;
3-2-5走停问题 1、学会把不等时的行程过程转化为等时的行程过程
2、枚举法解行程问题
3、比例解行程问题
3-2-6变速问题 1、根据行程中两个比例关系进行解题:
(1)时间相同速度比=路程比;
(2)路程相同速度比=时间反比;
2、根据题意准确画出线段图;
3、利用比例关系解题
3-2-7扶梯问题 1、了解扶梯问题与流水行船问题的相似和不同;
2、熟练画线段图、列等量关系可以帮助解题;,
3-2-8发车间隔 1、熟练运用柳卡解题方法解多次相遇和追及问题
2、通过左图体会发车间隔问题重点——发车间隔不变(路程不变)
3、能够熟练应用三个公式解间隔问题
3-2-9接送问题 1、准确画出接送问题的过程图——标准:每个量在相同时间所走的路程要分清;
2、理解运动过程,抓住变化规律;
3、运用行程中的比例关系进行解题;
3-2-10时钟问题 1、了解时钟问题即钟面上的追及和相遇问题;
2、确定统一的路程和时间速度表达形式;
3、画图分析确定是相遇还是追及并进行解题;
3-3比例解行程问题 3-3-1比例解行程题综合 1、根据行程中两个比例关系进行解题:
(1)时间相同速度比=路程比;
(2)路程相同速度比=时间反比;
2、根据题意准确画出线段图;
3、本讲主要是讲六年级关于比例的所有综合题型
比例行程题是行程问题的重点和难点,我们在这个板块安排了比例和行程问题的综合题目,通过系统梳理与练习,让学生掌握比例与行程问题的解题本质的同时,也会让学生掌握一些经典题型,学会解题技巧。
4几何部分 4-1几何初步认知 4-1-1几何图形的认知 1、几何基本图形认识及简单计算;
2、对平面及立体图形了解剪拼思想与展开分析的思想;
3、看懂立体图形的示意图,锻炼一定的空间想象能力
数学分为代数和几何这两大板块内容。就像英语和数学的关系一样,不同小孩的喜好程度与学习能力都不一样,数学之中的代数和几何也容易成为小孩学习阶段中两极分化的两种不同科目,本模块希望学生根据生活中对图形的认识及自己的动手操作能力来培养学生的空间想象能力及数形结合的思想。
4-1-2图形找规律 1、对于简单及复杂图形找到规律,进行相应计算及绘图;
2、通过操作寻找对于一些图形有相应认识以理解;
3、考察学生的严密的逻辑推理能力
4-1-3巧求周长 1、基本图形的周长公式;
2、通过简单割补进行周长的计算与巧算
4-1-4奇妙的一笔画 1、图论基础知识,一笔画定理;
2、奇点与偶点的联系与区别
4-1-5图形的分割与拼接 本讲主要学习三大图形处理方法:
1、理解掌握图形的分割;
2、理解掌握图形的拼合;
3、理解图形的剪拼.?
4-2直线型面积(一) 4-2-1格点型面积 1、复杂的图形与剪拼;
2、格点型面积的计算公式应用。
格点面积以及等积变换推理出来的鸟头定理、燕尾定理、任意四边行定理等几何模型是近几年考试的热门趋势,绝大部分几何计算都会考核等积变换,因此我们将系统的向学生讲授涉及等积变换的所有定理证明以及在计算中的应用,通过一些经典题目让学生在学习这些有趣的定理同时给学生总结一些很实用的方法。
4-2-3三角形等高模型与鸟头模型 1、等高定理
2、鸟头定理
4-2-4任意四边行、梯形与相似模型 1、蝴蝶翅膀定理
2、任意四边行模型
3、沙漏与金字塔基础知识
4、如何构造沙漏与金字塔解题
4-2-5燕尾定理 1、等高定理;
2、如何运用差不变原则推出燕尾定理;
3、利用燕尾定理进行解题
4-3直线型面积(二) 4-3-1不规则图形的面积 1、利用分割、剪拼将不规则三角形进行转化体会转化思想;
2、提高学生的观察能力、动手操作能力、综合运用能力
圆、扇形及不规则四边行的相关知识是学习几何综合题目的的基础
4-3-2平移、旋转、割补 1、利用平移、旋转、割补、差不变原理体会求面积技巧;
2、通过构造行图形锻炼学生的构造能力。
4-3-2圆与扇形 1、圆与扇形的的基本公式;
2、利用分割与简拼解弓形、弯角、谷子等特殊图形面积;
3、利用等积变换将不规则图形进行平移变换。
4-4立体几何 4-4-1长方体与正方体 1、基本图形的面积与体积计算;
2、不规则图形的表面积面积与体积;
3、学会三视图与切片法解表面积和体积
立体几何更多的考察了学生的空间想象能力。本模块是学生在平面几何学习的一个拓展,立体几何求表面积及体积是本讲的一个重点,本模块会着重讲解三视图、切片法等处理立体几何的基本方法。
4-4-2圆柱与圆锥 1、圆柱与圆锥的表面积与体积公式及简单计算;
2、组合与旋转后不规则图形的面积与计算
5数论部分 5-1奇数与偶数 5-1-1奇偶性质与应用 1、奇数和偶数的定义;
2、奇数与偶数的运算性质;
3、两个实用的推论
?数论——用*简洁的文字命出*难的试题的专题。数论试题中,语言叙述越少,难度系数越大。数论考察的是学生的数感,对数字特征,数字变换,数字组合,数字分拆,数字关联要求有完整的知识体系并能够由此及彼,综合运用,分析推理;数论——与其他所有类型的专题都可以结合出综合难题题。数论无处不在,可以与计算结合,可以与计数衔接,可以与应用题综合,可以与行程融合,可以与方程转化,可以与几何交接(数形结合,初中的重点思想)。可以说,数论是构成数学理论的大基石,只有学好数论才能学好其他数学问题。本模块通过8大模块系统归纳学习数论,攻克这一综合专题。
5-2数的整除 5-2-1数的整除之四大判断法综合运用、整数分拆之分类计数与*值应用 1、常见数字的整除判定方法;
2、整除性质;
3、整除性质的综合应用
5-3约数与倍数 5-3-1约数、倍数、分解质因数 1、约数与*大公约数;
2、倍数与*小公倍数;
3、分解质因数;
4、综合运用
5-4完全平方数 5-4-1完全平方数及应用 1、完全平方数的特点;
2、完全平方数的的应用
5-5质数合数分解质因数 5-5-1质数合数性质及应用 1、质数定义及特殊质数与一般质数的相关特点;
2、合数定义与应用;
3、利用整除等性质解关于质数合数的综合题
5-6余数问题 5-6-1带余除法、余数性质、同余问题、中国剩余定理 1、余数性质——和、差、积;
2、同余问题——差不变原则;
3、中国剩余定理的运用及特点
5-7位值原则与数的进制 5-7-1数的进制 1、进制定义与进制互化;
2、进制应用(二进制**分解定理;除法特点)
3、数字表达与位值拆分;
4、利用整除、方程、不定方程的解题方法分析位值原理
5-8数字谜与算式迷综合 5-8-1数字谜与算式迷综合 1、简单加法、乘法、除法数字谜;
2、横式数字谜;
3、涉及到一些*值原理的数字谜;
4、24点游戏等
6应用题综合 6-1经典应用题 6-1-1归一问题 1、了解归一及归总问题的类型;
2、解决归一及归总问题的一般方法;
3、掌握归一及归总问题的基本关系式;
4、将这种方法应用到一些实际问题中.
应用题的类型繁多但是归类明确,解题巧妙而且体现非常强的数学思维。如鸡兔同笼问题的假设思想,盈亏问题中的比较思想,和倍差问题中的比例思想,年龄问题中的不变量思想等。每一类应用题都对应着数学系统中非常重要的一个或多个知识点与数学思想。从这几年的考试形势来看,应用题将是小升初及中高考中的重难点之一。现在各重点中学的数学出题模式已经从"玩数字游戏"转变成"玩文字游戏"。也就是说数学试卷中频繁出现大段落试题。本模块着重归纳所有小学数学中的应用题分类专题,提炼分类专题中的经典题型,重点讲解各类应用题专题中的数学思想与解题技巧,并对各经典应用题的拓展题型进行归纳总结,探索出题模式与命题重点,对应用题在小升初杯赛中的考察作全方位的复习指导。
6-1-2还原问题 1、了解还原即倒退法的类型;
2、解决倒退法问题的一般方法;
3、掌握倒退问题的基本关系式;
4、利用倒退法解决一些实际问题.
6-1-3植树问题 1、了解植树的基本概念;
2、了解植树问题的几种出题模式;
3、利用植树问题思想解其他类型题目
6-1-4和差问题 1、找题目的和差关系,利用基本公式进行解题;
2、学会画线段图解题
6-1-5和倍问题 1、如何画线段图,找等量关系
2、找到解题的思路和捷径;
3、量倍对应对是解题关键,为以后分数应用题做铺垫
6-1-6差倍问题 1、如何画线段图,找等量关系
2、找到解题的思路和捷径;
3、量倍对应对是解题关键,为以后分数应用题做铺垫
6-1-7盈亏问题 1、掌握盈亏问题的三个基本公式;
2、学会如何将复杂盈亏问题转化成标准盈亏问题;
3、能够利用捆绑法、整体法、建模法解盈亏问题
6-1-8年龄问题 1、抓住“年龄差”不变规律解题
2、年龄问题转化成“差倍”、“和倍”或“和差”问题数量关系式.
3、学会画年龄关系图帮助解题
6-1-9鸡兔同笼问题 1、掌握鸡兔同笼问题的基本公式;
2、学会将复杂鸡兔同笼问题进行转化;
3、能够利用捆绑法、整体法、建模法解盈亏问题
6-1-10牛吃草问题 1、牛吃草关键是要求三个量:
(1)草的生长速度
(2)原有草量
(3)总草量
2.牛吃草问题的关键是求出工作总量的变化率
6-1-11平均数与周期问题 1、通过移多补少的原则进行平均解题;
2、通过操作找规律等方法解周期问题;
3、学会画线段图解题
7-1-12包含与排除 1、容斥原理公式的理解;
2、利用容斥原理来解决复杂数论题目;
3、利用韦恩图来帮助解决包含与排除问题。
6-2分百应用题 6-2-1分数应用题综合 1、分析题目确定单位“1”
2、准确找到量所对应的率,利用量?对应率=单位“1”解题
3、抓住不变量,统一单位“1”
分数应用题是小学数学学习的难点和重点,因为分数应用题的学习不过关,导致很多学生的数学学习到五六年级产生严重滑坡,为此,我们会对分数应用题这个板块系统讲解,让学生掌握分数应用题的解题本质的同时,也会让学生掌握一些经典题型,学会解题技巧。
6-2-2经济问题 1、了解:打折、优惠等相关经济名词;
2、利用分数、比例等解题方法解经济问题
6-2-3溶液浓度问题 1、浓度问题相关公式;
2、利用十字交叉即浓度三角方法解题;
3、会利用方程进行解浓度三角的题
6-2-4比例应用题 ⑴比例式的恒等变形;
⑵各种条件下比例的转化,有目的的转化;
⑶比例与和差关系问题中数量关系的对应和运用.
6-3工程问题 6-3-1混合工效问题 1.熟练掌握工程问题的基本数量关系与一般解法
2、单独做、几人合作或轮流做需要学会分段处理
3.根据题目正确进行单位“1”的统一和转换
4、工程问题常见解题方法以及工程问题算术方法在其他类型题目中的应用:水管问题、周期性工作问题、工资分配问题等
7计数综合 7-1加法原理 7-1-1加法原理基础 1.使学生掌握加法原理的基本内容;
2.掌握加法原理的运用以及与乘法原理的区别;
3.培养学生分类讨论问题的能力,了解分类的主要方法和遵循的主要原则。
数学中的计数理论堪称数学中*难拿分的专题,正因为如此次专题也成为考试中的“拉分”题目,要想解此题要求学生有清晰透彻的思考思路与层次分明的抽象操作思维。其中蕴藏了丰富的数学原理与数学技巧,对孩子的数学逻辑思维开发有着不可替代的重要作用。本模块系统梳理计数的所有方法及计数中的十几种技巧。同时要想系统掌握计数解题技巧,必须对各种技巧的"使用条件、操作方式"融会贯通!
7-2乘法原理 7-2-1乘法原理基础 1、掌握乘法原理运用的方法;
2、用乘法原理分清几个必要步骤,以及各步之间关系;
3、培养学生准确分解步骤的解题能力;
4、乘法原理的数学思想主旨在于分步考虑问题
7-3加乘原理 7-3-1加乘原理综合 1、培养学生综合运用加法原理和乘法原理的能力;
2、让学生懂得何时并运用加法,何时乘法原理解决问题;
3、在分类讨论中结合分步,在分步分析中结合分类讨论;
4、教师应该明确并强调哪些是分类,哪些是分步;
5、了解与加、乘原理相关的常见题型:数论类问题、染色问题、图形组合。
7-4排列组合 6-1-12排列组合综合 1、计数中何时用排列何时用组合要分清;
2、复杂排列组合需要同学掌握特殊技巧;
3、枚举和分类及递推、隔板等方法在排列组合中的应用
7-5几何计数 7-5-1几何计数 1、几何计数的分类方法
2、计数中的边界情况容易遗漏
3、复杂图形计数的递推
4、方阵,棋盘问题
5、复杂图形计数的递推。
8杂题部分 8-1智巧趣题 8-1-1智巧趣题 智巧题关键是题目有陷阱,需要同学:
(1)细心,善于观察,全面考虑各种情况;
(2)是要充分运用生活中学到的知识;
(3)是需要那么一点思考问题的灵气和非常规的思考方法
杂题部分应该是*贴近学生的各种专题,这类专题要求学生有较强的综合能力,使学生感受数学与现实生活的密切联系,通过观察、操作、猜测推断等方式,培养学生的探索意识。在学生牢固地掌握所学的一些常见的数量关系和应用题的解答方法的基础上,能够比较灵活地运用所学知识独立地解决生活中一些简单的实际问题。
8-2抽屉原理 8-2-1公式及*不利原则 1、抽屉原理的基本概念、基本解题过程;
2、构造抽屉进行解题;
3、利用*不利原则进行解题
4、利用抽屉原理与*不利原则解释并证明一些结论及生活中的一些问题
8-3逻辑推理 8-3-1逻辑推理 1、掌握逻辑推理的解题思路与基本方法:列表、假设、对比分析、数论分析法等
2、培养学生的逻辑推理能力,掌握解不同题型的突破口
3、能够利用所学的数论等知识解复杂的逻辑推理题
8-4统筹规划 8-4-1统筹规划 1、寻找达到*优化条件的等价条件。
2、合理安排多条件下的统筹问题。
3、简单的较少的人数入手,通过逐步递推,探索一般规律
8-5操作与策略 8-5-1操作与策略 1、通过实际操作寻找题目中蕴含的数学规律
2、通过操作体会数学规律并且设计*优策略和方案
3、通过简单操作、染色、数论等综合知识解决策略问题
8-6构造与论证 8-6-1构造与论证 1、如何分类讨论及讨论结果的全面性。
2、与抽屉原理、数论、估算相结合的综合题。
3、如何设计*佳方案和选择*佳方案。
8-7统计与概率 8-7-1统计与概率 1、概率的基本含义
2、事件总数与满足条件的事件
3、简单的统计图表:扇形等
4、用排除法解决概率问题
8-8*短路线 8-8-1*短路线 1.准确运用“标数法”解决题目.
2.培养学生的实际操作能力.
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